Automobil na setrvačník
Jsme zvyklí, že na setrvačníky jezdí pouze dětské hračky. Podívejme se ale na to, zda by na setrvačník mohl jezdit například osobní automobil.
Závěry (uvedené na konci článku) jsou jasné. Automobilů na setrvačník se asi nikdy nedočkáme.
Postup výpočtu
V následujícím výpočtu musíme nejprve určit, jak vlastně vypadá rozložení napětí v rotujícím setrvačníku. Poté určíme nejnamáhanější místo setrvačníku a předepíšeme, že největší namáhání nesmí překročit dovolenou mez. Tak stanovíme maximální dovolené otáčky setrvačníku (pro tyto výpočty je nutné znát některé vztahy z vysokoškolského kurzu pružnosti a pevnosti v rozsahu, v jakém se vyučuje na strojních fakultách). Takto získaným otáčkám odpovídá maximální mechanická energie, kterou do setrvačníku můžeme uložit.
Mechanickou energii v setrvačníku pak porovnáme s chemickou energií uloženou ve stejném množství benzínu. Srovnáme energii setrvačníku s energií benzínu o stejném objemu a s energií benzínu o stejné hmotnosti, jako má setrvačník.
Nakonec navrhneme parametry setrvačníku, který nahradí plnou benzínovou nádrž.
Průběh napětí v setrvačníku
Podle vztahů z pružnosti platí pro radiální a tečné napětí v rotujícím kotouči (setrvačníku) vztahy
, (1)
. (2)
Setrvačník budu považovat za plný válec s výškou h. V takovém případě je nutné, aby konstanta B měla nulovou hodnotu. Jinak by napětí uprostřed válce vycházela nekonečná.
Platí tedy
, (3)
. (4)
Bude-li setrvačník uložen ve vakuu (což by kvůli minimalizaci ztrát bylo rozumné), bude radiální napětí na jeho vnějším obvodu rovno nule:
. (5)
Odtud získáme dosud neznámou hodnotu konstanty A ve tvaru
. (6)
Po dosazení konstanty A do vztahů (3) a (4) dostaneme po malé úpravě tvary pro průběhy napětí
, (7)
. (8)
Osovové napětí v setrvačníku můžeme považovat za nulové.
. (9)
Uvážíme-li, že zlomek ze vztahu (8) je menší než jedna (protože hodnota
je přibližně 0,3), můžeme už snadno zakreslit průběh napětí uvnitř rotujícího setrvačníku v závislosti na vzdálenosti od jeho osy.
Maximální rychlost setrvačníku
Pro stanovení maximálního redukovaného napětí použijeme Trescovu hypotézu. Je zjevné, že největší rozdíl hlavních napětí bude právě v ose setrvačníku a bude roven
. (10)
Pokud je setrvačník roztočený na maximální otáčky, musí splňovat pevnostní podmínku. To znamená, že redukované napětí dosáhne dovoleného napětí:
. (11)
Odtud snadno vyjádříme maximální úhlovou rychlost, kterou setrvačník ještě vydrží.
. (12)
Energie uložená v setrvačníku
Pro energii rotujícího setrvačníku platí známý vztah
, (13)
přičemž moment setrvačnosti J válce je vyjádřen vztahem
. (14)
Do vztahu pro energii (13) dosadíme za z (12) a za J z (14). Za hmotnost dosadíme součin objemu
a hustoty
. Dostaneme
. (15)
Je zajímavé, že množství energie nezáleží na hustotě materiálu, ale pouze na hodnotě dovoleného napětí. V setrvačníku vyrobeném z materiálu s vyšší hustotou dosáhneme dovoleného napětí při nižších otáčkách. Hmotnost setrvačníku a tedy i jeho moment setrvačnosti je ale větší. Tyto vlivy se navzájem kompenzují.
Energie uložená v benzínu stejného objemu
V benzínu o stejném objemu, jako je objem setrvačníku je možné množství energie vyjádřit vztahem
, (16)
kde je hustota energie (výhřevnost) benzínu v Joulech na litr. Takže
. (18)
Porovnáme nyní energii uloženou v setrvačníku a v benzínu
. (19)
Zvolme si například dovolené napětí setrvačníku o hodnotě . Poissonovo číslo má hodnotu
. Měrná energie benzínu podle Wikipedie je
.
Dosadíme uvedené hodnoty do posledního vztahu a získáme poměr energie uložené v setrvačníku a energie uložené v benzínu o stejném objemu
. (20)
V setrvačníku jsou tedy uložená pouhá necelá čtyři promile energie v benzínu o stejném objemu.
Energie uložená v benzínu stejné hmotnosti
Benzín má nižší hustotu, než setrvačník. Abychom dostali množství benzínu o stejné hmotnosti, jakou má setrvačník, musíme objem benzínu vynásobit poměrem hustot . Odpovídajícím způsobem se také zvětší množství energie uložené v benzínu.
Poměr množství energie uložené v setrvačníku a množství energie uložené v benzínu o stejné hmotnosti tak vychází
. (21)
Zvolme si například hustotu oceli () a hustotu benzínu podle Wikipedie (
).
Poměr množství energie uložené v setrvačníku a množství energie uložené v benzínu o stejné hmotnosti má v takovém případě hodnotu
. (22)
Do setrvačníku je tedy možné uložit méně než promile energie, která je akumulovaná v chemických vazbách benzínu o stejné hmotnosti.
Zahrnutí účinnosti
Vezmeme-li v úvahu, že spalovací motor využije jen část energie benzínu (jeho účinnost je podle Wikipedie cca. ), zatímco přeměna mechanické energie setrvačníku bude provázena jen nepatrnými ztrátami, vychází poměr využitelných energií uložených v setrvačníku a v benzínu stejného objemu resp. hmotnosti poněkud lépe
Za předpokladu stejného objemu benzínu a setrvačníku dostaneme
(23)
a za předpokladu stejné hmotnosti benzínu a setrvačníku
. (24)
Náhrada plné nádrže setrvačníkem
Předpokládejme, že plná nádrž obsahuje 45 litrů benzínu. Uvážíme-li, že setrvačník o stejném objemu obsahuje 0,015-tinásobek využitelné energie (viz vztah (23)), potřebujeme pro úplné nahrazení nádrže setrvačník o objemu 3000 litrů. Takový objem má například setrvačník o průměru 2 metrů a výšce 96 centimetrů. Vyrobíme-li ho z oceli, jeho hmotnost bude celých 23 tun!
Závěry
Energetická bilance je jasná – energii benzínu nemůžeme prakticky nahradit energií roztočeného setrvačníku. Váhová bilance je také jasná – setrvačník by musel být neúměrně těžký.
~*~