28.4.2016

Automobil na setrvačník

Automobil na setrvačník Jsme zvyklí, že na setrvačníky jezdí pouze dětské hračky. Podívejme se ale na to, zda by na setrvačník mohl jezdit například osobní automobil.

Závěry (uvedené na konci článku) jsou jasné. Automobilů na setrvačník se asi nikdy nedočkáme.

Postup výpočtu

V následujícím výpočtu musíme nejprve určit, jak vlastně vypadá rozložení napětí v rotujícím setrvačníku. Poté určíme nejnamáhanější místo setrvačníku a předepíšeme, že největší namáhání nesmí překročit dovolenou mez. Tak stanovíme maximální dovolené otáčky setrvačníku (pro tyto výpočty je nutné znát některé vztahy z vysokoškolského kurzu pružnosti a pevnosti v rozsahu, v jakém se vyučuje na strojních fakultách). Takto získaným otáčkám odpovídá maximální mechanická energie, kterou do setrvačníku můžeme uložit.

Mechanickou energii v setrvačníku pak porovnáme s chemickou energií uloženou ve stejném množství benzínu. Srovnáme energii setrvačníku s energií benzínu o stejném objemu a s energií benzínu o stejné hmotnosti, jako má setrvačník.

Nakonec navrhneme parametry setrvačníku, který nahradí plnou benzínovou nádrž.

Průběh napětí v setrvačníku

Podle vztahů z pružnosti platí pro radiální a tečné napětí v rotujícím kotouči (setrvačníku) vztahy

$\sigma_r = A - \frac{B}{r^2} - \frac{3+\mu}{8} \rho \omega^2 r^2$ , (1)

$\sigma_t = A + \frac{B}{r^2} - \frac{1+3\mu}{8} \rho \omega^2 r^2$ . (2)

Setrvačník budu považovat za plný válec s výškou h. V takovém případě je nutné, aby konstanta B měla nulovou hodnotu. Jinak by napětí uprostřed válce vycházela nekonečná.

Platí tedy

$\sigma_r = A - \frac{3+\mu}{8} \rho \omega^2 r^2$ , (3)

$\sigma_t = A - \frac{1+3\mu}{8} \rho \omega^2 r^2$ . (4)

Bude-li setrvačník uložen ve vakuu (což by kvůli minimalizaci ztrát bylo rozumné), bude radiální napětí na jeho vnějším obvodu rovno nule:

$\sigma_r(R) = A - \frac{3+\mu}{8} \rho \omega^2 R^2 = 0$ . (5)

Odtud získáme dosud neznámou hodnotu konstanty A ve tvaru

$A = \frac{3+\mu}{8} \rho \omega^2 R^2$ . (6)

Po dosazení konstanty A do vztahů (3) a (4) dostaneme po malé úpravě tvary pro průběhy napětí

$\sigma_r = \frac{3+\mu}{8} \rho \omega^2 R^2 \left[ 1-\left( \frac{r}{R} \right)^2 \right]$ , (7)

$\sigma_t = \frac{3+\mu}{8} \rho \omega^2 R^2 \left[ 1- \frac{1+3\mu}{3+\mu} \left( \frac{r}{R} \right)^2 \right]$ . (8)

Osovové napětí v setrvačníku můžeme považovat za nulové.

$\sigma_a = 0$ . (9)

Uvážíme-li, že zlomek $\frac{1+3\mu}{3+\mu}$ ze vztahu (8) je menší než jedna (protože hodnota $\mu$ je přibližně 0,3), můžeme už snadno zakreslit průběh napětí uvnitř rotujícího setrvačníku v závislosti na vzdálenosti od jeho osy.

graf

Maximální rychlost setrvačníku

Pro stanovení maximálního redukovaného napětí použijeme Trescovu hypotézu. Je zjevné, že největší rozdíl hlavních napětí bude právě v ose setrvačníku a bude roven

$\sigma_{red} = \sigma_r(0) = \sigma_t(0) = A = \frac{3+\mu}{8} \rho \omega^2 R^2$ . (10)

Pokud je setrvačník roztočený na maximální otáčky, musí splňovat pevnostní podmínku. To znamená, že redukované napětí dosáhne dovoleného napětí:

$\frac{3+\mu}{8} \rho \omega^2 R^2 = \sigma_D$ . (11)

Odtud snadno vyjádříme maximální úhlovou rychlost, kterou setrvačník ještě vydrží.

$\omega = \sqrt{\frac{8 \sigma_D}{ (3+\mu) \rho R^2}}$ . (12)

Energie uložená v setrvačníku

Pro energii rotujícího setrvačníku platí známý vztah

$E_{setr} = \frac{1}{2} J \omega^2$ , (13)

přičemž moment setrvačnosti J válce je vyjádřen vztahem

$J = \frac{1}{2} m R^2$ . (14)

Do vztahu pro energii (13) dosadíme za $\omega^2$ z (12) a za J z (14). Za hmotnost dosadíme součin objemu $\pi R^2 h$ a hustoty $\rho$ . Dostaneme

$E_{setr} = \frac{2 \pi h R^2 \sigma_D}{3+\mu} = \frac{2 \sigma_D V_{setr} }{3+\mu}$ . (15)

Je zajímavé, že množství energie nezáleží na hustotě materiálu, ale pouze na hodnotě dovoleného napětí. V setrvačníku vyrobeném z materiálu s vyšší hustotou dosáhneme dovoleného napětí při nižších otáčkách. Hmotnost setrvačníku a tedy i jeho moment setrvačnosti je ale větší. Tyto vlivy se navzájem kompenzují.

Energie uložená v benzínu stejného objemu

V benzínu o stejném objemu, jako je objem setrvačníku je možné množství energie vyjádřit vztahem

$E_{benz} = V_{setr} \Lambda$ , (16)

kde $\Lambda$ je hustota energie (výhřevnost) benzínu v Joulech na litr. Takže

$E_{benz} = \pi R^2 h\Lambda$ . (18)

Porovnáme nyní energii uloženou v setrvačníku a v benzínu

$\frac{E_{setr}}{E_{benz}} = \frac{ \frac{2 \pi h R^2 \sigma_D}{3+\mu}}{\pi R^2 h\Lambda} = \frac{2 \sigma_D}{\Lambda (3+\mu)}$ . (19)

Zvolme si například dovolené napětí setrvačníku o hodnotě $\sigma_D = 200 \mbox{ MPa}$ . Poissonovo číslo má hodnotu $\mu=0.3$ . Měrná energie benzínu podle Wikipedie je $\Lambda = 32 \mbox{ MJ/l}= 32\ 10^9 \mbox{ J/m}^3$ .

Dosadíme uvedené hodnoty do posledního vztahu a získáme poměr energie uložené v setrvačníku a energie uložené v benzínu o stejném objemu

$\frac{E_{setr}}{E_{benz}} = 0.0038$ . (20)

V setrvačníku jsou tedy uložená pouhá necelá čtyři promile energie v benzínu o stejném objemu.

Energie uložená v benzínu stejné hmotnosti

Benzín má nižší hustotu, než setrvačník. Abychom dostali množství benzínu o stejné hmotnosti, jakou má setrvačník, musíme objem benzínu vynásobit poměrem hustot $\rho_{setr}/\rho_{benz}$ . Odpovídajícím způsobem se také zvětší množství energie uložené v benzínu.

Poměr množství energie uložené v setrvačníku a množství energie uložené v benzínu o stejné hmotnosti tak vychází

$\frac{E_{setr}}{E_{benz}} = \frac{ \frac{2 \pi h R^2 \sigma_D}{3+\mu}}{\pi R^2 h\Lambda \frac{\rho_{setr}}{\rho_{benz}}} = \frac{2 \sigma_D}{\Lambda (3+\mu)}\frac{\rho_{benz}}{\rho_{setr}}$ . (21)

Zvolme si například hustotu oceli ( $\rho_{setr} = 7.8 \cdot 10^3 \mbox{ kg}/\mbox{m}^3$ ) a hustotu benzínu podle Wikipedie ( $\rho_{benz} = 7.5 \cdot 10^2 \mbox{ kg}/\mbox{m}^3$ ).

Poměr množství energie uložené v setrvačníku a množství energie uložené v benzínu o stejné hmotnosti má v takovém případě hodnotu

$\frac{E_{setr}}{E_{benz}} =0.00095 = 0.95\ 10^{-3}$ . (22)

Do setrvačníku je tedy možné uložit méně než promile energie, která je akumulovaná v chemických vazbách benzínu o stejné hmotnosti.

Zahrnutí účinnosti

Vezmeme-li v úvahu, že spalovací motor využije jen část energie benzínu (jeho účinnost je podle Wikipedie cca. $\nu=0.25$ ), zatímco přeměna mechanické energie setrvačníku bude provázena jen nepatrnými ztrátami, vychází poměr využitelných energií uložených v setrvačníku a v benzínu stejného objemu resp. hmotnosti poněkud lépe

Za předpokladu stejného objemu benzínu a setrvačníku dostaneme

$\frac{E_{setr}^{vyuz.}}{E_{benz}^{vyuz.}} = 0.015$ (23)

a za předpokladu stejné hmotnosti benzínu a setrvačníku

$\frac{E_{setr}^{vyuz.}}{E_{benz}^{vyuz.}} = 3.7\ 10^{-3}$ . (24)

Náhrada plné nádrže setrvačníkem

Předpokládejme, že plná nádrž obsahuje 45 litrů benzínu. Uvážíme-li, že setrvačník o stejném objemu obsahuje 0,015-tinásobek využitelné energie (viz vztah (23)), potřebujeme pro úplné nahrazení nádrže setrvačník o objemu 3000 litrů. Takový objem má například setrvačník o průměru 2 metrů a výšce 96 centimetrů. Vyrobíme-li ho z oceli, jeho hmotnost bude celých 23 tun!

Závěry

Energetická bilance je jasná – energii benzínu nemůžeme prakticky nahradit energií roztočeného setrvačníku. Váhová bilance je také jasná – setrvačník by musel být neúměrně těžký.

~*~

Zanechat odpověď Zrušit odpověď na komentář

Vložte váš komentář...

Vyplňte detaily níže nebo klikněte na ikonu pro přihlášení:

Emailová adresa (vyžadováno) (Adresa nebude zveřejněna)

Jméno (vyžadováno)

Webová stránka

Komentujete pomocí vašeho WordPress.com účtu. ( Odhlásit / Změnit )

Komentujete pomocí vašeho Google účtu. ( Odhlásit / Změnit )

Komentujete pomocí vašeho Twitter účtu. ( Odhlásit / Změnit )

Komentujete pomocí vašeho Facebook účtu. ( Odhlásit / Změnit )

Zrušit

Připojování k %s

Tento web používá Akismet na redukci spamu. Zjistěte více o tom, jak jsou data z komentářů zpracovávána.