Balón podruhé (a naposledy)

Před časem jsem tu zveřejnil neúspěšný pokus o model stoupání balónu z projektu czANSO. Dnes se k výpočtu vrátím, tentokrát se správnými hodnotami veličin. Výsledek je o něco lepší, nikoli však příliš uspokojivý.

Výpočet byl proveden v systému Mathcad a zde ho uvádím jen ve stručné podobě.

Model atmosféry

Tlak, hustota, viskozita

Model je přejat ze skript  Václav Brož: Aerodynamika nízkých rychlostí (ČVUT Praha 1990) v této podobě

Z téže publikace jsou převzaty také hodnoty kinematické viskozity, které jsou tu tabelovány až do výšky 25 000 metrů. Tyto hodnoty jsem aproximoval funkcí

Metodou nejmenších čtverců jsem našel optimální hodnoty koeficientů. Provedl jsem také výpočet dynamické viskozity. Výsledky shrnuje následující graf. Vodorovná osa představuje výšku, na levé svislé ose jsou  hodnoty kinematické viskozity (červené body jsou tabelované hodnoty, červená čára je aproximace), pravá svislá osa udává hodnoty dynamické viskozity  (modré body jsou vypočítané pomocí tabelovaných hodnot kinematické viskozity, modrá čára pomocí aproximace kin. viskozity).

Teplota

Teplotu měřila během stoupání sonda. Průběh teploty v závislosti na výšce a mou jednoduchou aproximaci pomocí dvou přímek ukazuje následující graf

Dostup balónu

Předpoklady:

  • hélium v balónu se chová jako ideální plyn
  • teplota hélia je shodná s teplotou okolní atmosféry
  • tlak hélia je o malou konstantu vyšší než tlak okolní atmosféry
  • balón má tvar přesné koule

Podle Wikipedie je hustota hélia na hladině moře za normální teploty

Při platnosti rovnice ideálního plynu a s tím, že tlak v balónu je o \Delta p_{konst} vyšší než okolní atmosférický tlak, dostaneme vztah pro hustotu hélia v balónu v závislosti na výšce v podobě

Grafické vyjádření je na následujícím obrázku. Hodnotu \Delta p_{konst} jsem nastavil na 5 Pa.

Podle e-mailu od Ing. Richtera byla celková hmotnost sondy

Hmotnost balonu je podle stránek výrobce

Tahová síla (tj. vztlak balónu mínus tíha celého zařízení) byla podle Ing. Richtera nastavena na

Vypuštění balónu proběhlo z nadmořské výšky 333 metrů. Musí proto platit rovnice

V(333) * ρ * g – (mbalon+msonda+mHe) * g = FVstart

První člen na levé straně představuje vztlak balónu, závorka pak tíhu celého zařízení. Ze vztahu vyjádříme hmotnost použitého hélia

a dostáváme tedy

Této hmotnosti pak odpovídá objem a průměr balonu na startu

Celková hmotnost zařízení (sonda+balón+hélium) je

Pro závislost objemu a průměru na výšce platí jednoduché vztahy

Grafické vyjádření průměru balónu v závislosti na výšce přináší následující graf

Výrobce uvádí, že balon vybuchne při dosažení průměru 863 cm. Podle údajů z czANSO explodoval ten jejich ve výšce 31 084 metrů, což v našem modelu dává průměr

Shoda je vynikající! Dosáhl jsem toho vhodně zvolenou konstantou \Delta p_{konst} = 5Pa. Ale i při volbě \Delta p_{konst} = 0 nebude odchylka velká — pouze 1,7 cm.

Maximální dosah náš model popisuje velmi dobře. S rychlostí je to bohužel horší.

Rychlost stoupání balónu

Rychlost je získaná numerickým derivováním výšky, kterou sonda měřila v pětisekundových intervalech pomocí GPS. Takto získaný záznam je velmi rozkmitaný. Za část tohoto kolísání pravděpodobně odpovídá nepřesnost měření výšky pomocí GPS. Následující graf zachycuje průběch vertikální rychlosti v závislosti na výšce a rychlost vyhlazenou klouzavým průměrováním přes 25 vzorků.

Zprůměrovanou rychlost použijeme pro stanovení Reynoldsova čísla v závislosti na výšce

Chceme-li pro stanovení rychlosti použít Newtonův vztah, musí být Reynoldsovo číslo v rozmezí <104  ;  3*105>. Následující graf zachycuje hodnotu Reynoldsova čísla v závislosti na výšce a obě mezní hodnoty

Newtovnův vztah platí pouze ve výšce větší než je (v metrech)

Podle Newtona je odporová síla úměrná druhé mocnině rychlosti dělené dvěma a násobené hustotou prostředí, čelní plochou a součinitelem odporu c. Při ustáleném stoupání musí být tato síla rovna rozdílu vztlaku a tíhy, čili

V(x)*ρ(x)*g – m*g = 1/2*ρ*c*π*D2/4*v2

Vyjádříme explicitní vztah pro rychlost (z technických důvodů jsou zde veličiny značeny poněkud odlišně – \rho\rho — hustota, G — tíhové zrcyhlení, d — průměr, C — součinitel odporu a M — hmotnost.

Protože předpokládáme soupání balónu, volím z obou výsledků ten kladný.

Připomínám, že tento vztah by měl platit pouze ve výškách nad cca 14,6 km. Jaký vztah by měl platit níže? To je velký problém. Podívejte se na tento dokument na str. 100 a následující, (nebo na graf na konci tohoto textu). Vidíme, že při nárůstu Re nad cca  3*10 dochází k obrovskému skokovému poklesu koeficientu odporu c. Modelovat tuto nespojitost je prakticky nemožné — i s ohledem na to, že zde je model nepochybně velmi citlivý na různé předpoklady (přesný tvar balónu) a také např. na drsnost povrchu balónu, o které nevíme vůbec nic.

Musíme se proto spokojit s tím, že náš model je použitelný pouze ve vyšších výškách, kde už je hodnota Reynoldsova čísla dostatečně nízká.

Podívejme se na srovnání skutečné rychlosti sondy a rychlosti, kterou dává náš model. Připomínám, že toto srovnání má cenu dělat pouze pro výšky nad úrovní hmin, která je v grafu vyznačená zelenou linkou.

Vztáhneme-li rozdíl mezi skutečnou a modelovou rychlostí na skutečnou rychlost, vidíme, že podle modelu máme rychlost stoupání nadhodnocenou cca o 50%.

Závěry

Dostup balónu se podařilo modelovat velmi dobře.

Rychlost balónu se nepodařilo stanovit správně.

V nízkých výškách, kde je malá kinematická viskozita, jsou hodnoty Reynoldsova čísla mimo oblast platnosti Newtonova zákona a balón stoupá právě někde v přechodové oblasti, která je bez dalšího pro naše jednoduché modelování nedostupná. Ve větších výškách je Reynoldsovo číslo v oblasti platnosti Newtonova zákona. Model přesto dává cca. o 50% vyšší rychlost, než je skutečnost. Může nás snad utěšovat jen to, že tato chyba je relativně konstantní v celé oblasti.

Velké kolísání rychlosti ve spodní části by mohlo potvrzovat nesmírnou citlivost koeficinetu odporu na drobné změny tvaru balónu (a tím na Reynoldsově čísle) — tedy to, že se balón pohybuje někde v oblasti zlomu na křivce (viz obrázek níže).

Osobně se domnívám, že balon je navržen a optimální parametry zatížení a plnění jsou výrobcem doporučeny právě tak, aby rychlost stoupání byla v oblasti prudkého poklesu c. To sice komplikuje modelování, umožní to však nejvyšší možnou rychlost stoupání.

Ve vyšších vrstvách atmosféry je Reynoldsovo číslo menší, systém se tak na závislosti c–Re posune doleva, kde je křivka plochá a drobné změny tvaru balónu se na kolísání rychlosti projeví mnohem méně. Proto ve vyšších výškách kolísá rychlost méně

Příloha

Závislost součinitele odporu c na Reynoldsově čísle pro hladkou kouli (zdroj).

~*~

Zanechat odpověď

Vyplňte detaily níže nebo klikněte na ikonu pro přihlášení:

Logo WordPress.com

Komentujete pomocí vašeho WordPress.com účtu. Odhlásit /  Změnit )

Google photo

Komentujete pomocí vašeho Google účtu. Odhlásit /  Změnit )

Twitter picture

Komentujete pomocí vašeho Twitter účtu. Odhlásit /  Změnit )

Facebook photo

Komentujete pomocí vašeho Facebook účtu. Odhlásit /  Změnit )

Připojování k %s

Tento web používá Akismet na redukci spamu. Zjistěte více o tom, jak jsou data z komentářů zpracovávána.