Balón stoupající do stratosféry

czANSOJe to asi rok, co se amatérskému týmu czANSO podařilo vyslat sondu do stratosféry. Od začátku jsem tenhle projekt sledoval a držel mu palce. Autoři projektu czANSO velkoryse zveřejnili úplná data o letu, mohl jsem tedy vytvořit model stoupání sondy a porovnat ho s realitou…a neuspěl jsem. Chybu v postupu se mi nepodařilo odhalit…

Možná mi poradí některý z čtenářů mého blogu…?

Poznámka – tento článek není aktuální, některé chyby výpočtu se mi podařilo mezitím odstranit, proto vznikl nový článek.

Celý výpočet je provedený v systému MathCad a můžete si ho prohlédnout v pdf. Jde jednak o samotný výpočet, jednak o vyjádření explicitního vztahu pro rychlost v přechodové oblasti (viz níže). Odkazy na soubory jsou uvedeny na konci tohoto textu.

Sonda byla zavěšena pod meteorologickým balonem plněným héliem. Úloha se tedy zdá docela snadná… Balón mění svůj průměr s výškou v závislosti na atmosférickém tlaku. Průměrem balónu je ovlivňován jeho vztlak a jeho aerodynamický odpor. Mohu tedy určit rychlost stoupání balónu a díky datům czANSO ji mohu srovnat se skutečnou rychlostí stoupání.

Oprášil jsem své znalosti z mechaniky tekutin a pokusil se modelovat balon se zátěží, stoupající do stratosféry. Došel jsem k pozoruhodné neshodě s realitou, kterou se mi přes velké úsilí nepodařilo odstranit jinak, než s použitím Bulharské konstanty B. Pozoruhodné ovšem je, že mi vyšlo B=\pi. Možná to poukazuje na to, že jsem někde během úprav jakési \pi vytrousil… Ale kde? Podívejte se na shrnutí výpočtu — celý výpočet stahujte na konci článku.

Předpoklady

  • teplota hélia v balónu je stejná, jako teplota atmosféry mimo balón (to se dá jistě zpochybnit, nic lepšího ale nemám)
  • tlak hélia v balónu je o (malou, empiricky zjištěnou) konstantu vyšší, než tlak atmosférický (detaily níže)
  • balón má tvar koule a aerodynamický odpor celé soustavy je dán prakticky pouze odporem balónu

Konstanty

  • gravitační zrychlení g=9.81
  • atmosférický tlak na hladině moře p_0=101325 Pa
  • hustota vzduchu na hladině moře \rho_0=1.2041 kg/m^3

Model atmosféry

Model tlaku a hustoty v závislosti na výšce jsem převzal ze skript Václav Brož: Aerodynamika nízkých rychlostí (ČVUT Praha 1990) v této podobě

p(x)=p_0 e^\frac{-x}{7070},

\rho(x)=\rho_0 e^\frac{-x}{7070},

kde p_0 a \rho_0 představují tlak a hustotu na hladině moře a x nadmořskou výšku.

Kinematická a dynamická viskozita v závislosti na výšce

Ve stejném zdroji je možné najít tabulku kinematických viskozit až do výšky 25 000 metrů. Tyto hodnoty jsem aproximoval funkcí \nu(x)=k_1 + k_2 e^{k_3x} + k_4 x^2 + k_5 x^3 a pomocí metody nejmenších čtverců určil hodnoty konstant. Obrázek napravo ukazuje tabelované hodnoty, průběh aproximace a hodnoty dynamické viskozity (kvůli měřítku vynásobené padesátkrát) vypočtené pomocí aproximace kinematické viskozity a modelu hustoty.

Průběh teploty v závislosti na výšce a její aproximaceTeplotu atmosféry měřila během stoupání samotná sonda. Teplota klesala až do výšky cca 13km (zde dosáhla zhruba -30 stupňů Celsia) a pak začala zase stoupat. Její průběh a mou jednoduchou aproximaci v podobě lomené čáry vidíte na dalším obrázku na pravé straně. V grafu jsou použity stupně Celsia (to si umíme lépe představit), výpočet je ale samozřejmě v Kelvinech.

Stoupání sondy

Rychlost a vyhlazená rychlostSonda v pravidelných časových intervalech měřila svou polohu pomocí GPS. Nadmořská výška je u GPS zatížena poměrně velkou chybou a rychlost stoupání přesnost měření ještě snižuje. Pokusíme-li se tedy numerickým derivováním výšky podle času zjistit průběh rychlosti, dostaneme čáru velmi „rozkmitanou“. Protože předpokládám, že většina těchto výkyvů je způsobena pouze chybou měření, vypočítal jsem ještě rychlost průměrovanou přes 25 vzorků. Jak vypadá závislost vertikální rychlosti sondy na výšce bez vyhlazení i s vyhlazením je vidět na obrázku.

Balón

Balón je naplněný héliem. Výrobce doporučuje určité hodnoty plnění pro start a také uvádí maximální průměr, kterého balón může dosáhnout než praskne. Z těchto údajů je možné vypočítat maximální výšku, které může sonda dosáhnout.

Jak jsem uvedl výše, předpokládám určitý malý konstantní rozdíl tlaků uvnitř a vně balónu. Protože nemám představu, jaký tento rozdíl ve skutečnosti bude, rozhodl jsem se ho nastavit tak, aby se vypočtený maximální dostup shodoval se skutečným maximálním dostupem sondy czANSO. Zjistil jsem, že tento požadavek splňuje

\Delta p_{konst} = 90 Pa

— podrobněji viz níže.

Hustota hélia za normálního tlaku p(0)=101325 Pa a teploty T(0)=298.049K (hodnoty jsou z mých modelů a aproximací pro mořskou hladinu, tedy pro x=0) je \rho_{0He} = 0.179 kg/m^3. Pro hustotu hélia ve výšce x platí podle rovnice ideálního plynu a s uvážením, že v balón je o konstantu vyšší tlak než v okolní atmosféře

\rho_{He}(x) = \rho_{0He} \frac{T(0)}{p(0)} \frac{(p(x)+\Delta p_{konst})}{T(x)}.

Podle e-mailu od Ing. Richtera vážila sonda celkem 1.527 kg, a balón 1.2 kg. Tahová síla byla postupným napouštěním balónu nastavena na hodnotu F_{v start} = 12.73 N. Určím tedy objem hélia, který takovou sílu zajistí. Tahová síla je rovna rozdílu vztlaku a tíhy, do níž nesmíme zapomenout připočíst i tíhu samotného hélia. Balón startoval z nadmořské výšky 333 metrů. Platí rovnice

F_{v start} = [V_{start}\rho(333) - (m_{sondy} + m_{balonu} + m_{helia})] g

a pro objem balonu při startu, jeho průměr při startu a hmotnost použitého hélia dostáváme tyto výsledky

V_{start} = 4.998 m^3,

D_{start} = 2.121 m,

m_{He} = 0.859 kg.

Celková hmotnost sondy, balónu a hélia je

m = 3,586 kg.

Pohledem na snímek ze startu je možné se přesvědčit, že tento vypočtený průměr není ve zjevném rozporu se skutečností.

Pro objem balonu a jeho průměr je možné napsat následující vztahy

V(x)=V_{start}\frac{p_{start}+\Delta p_{konst}}{T_{start}}\frac{T(x)}{p(x)+\Delta p_{konst}} ,

D(x)=\sqrt[3]{\frac{6 V(x)}{\pi}}.

Průměr balónu v závislosti na výšceVýrobce uvádí, že balon exploduje poté, co dosáhne průměru D_{max} = 8.63 m. Podle mého modelu tohoto průměru dosáhne ve výšce 31085 metrů. Ve skutečnosti sonda dosáhla výšky 31080 metrů. Shoda je velmi dobrá — dosáhl jsem jí právě nastavením konstanty \Delta p_{konst} na hodnotu 90 Pa.

Na obrázku vpravo je červenou čarou vyznačena závislost průměru balónu na výšce s užitím  uvedených vztahů. Červený bod představuje místo, kde průměr dosáhne hodnoty uváděné výrobcem jako maximální (svislá modrá čárkovaná linka) a kde by tedy podle modelu měl balon explodovat. Je to tedy teoretický dostup sondy. Zelená čárkovaná linka ukazuje skutečný dostup sondy.

Maximální dostup sondy je tedy možné tímto modelem popsat velmi dobře. Podívejme se nyní na rychlost.

Rychlost sondy

Vztlaková síla a tíhová síla v závislosti na výšceVztlaková síla

Vztlaková síla je dána Archimédovým zákonem

F_V(x) = \rho(x) V(x) g.

Obrázek napravo ukazuje závislost vztlakové síly na výšce (červená linka) ve srovnání s tíhou celého zařízení (modrá linka).

Aerodynamický odpor

Závislost koeficientu odporu na Reynoldsově čísleZ pohledu na graf rychlosti vidíme, že balon celou dobu stoupá rychlostí okolo 6 m/s. To odpovídá Reynoldsovým číslům pro start a konec výstupu Re_{start} = 85Re_{konec} = 6. Podle hydromechaniky se jedná o přechodovou oblast, v níž je koeficient odporu C závislý na Reynoldsově čísle podle vztahu

C = \frac{18.5}{Re^{0.6}}.

— viz obrázek napravo (zdroj).

Odporová síla je určena vztahem

F_o = \frac{1}{2}CSv^2\rho,

kde S je čelní průřez balonu (S=\pi D^2/4), v je rychlost a \rho je hustota prostředí. Reynoldsovo číslo je definováno známým vztahem

Re = \frac{v D}{\nu}.

Rovnováha sil

Síla vztlaková musí být v rovna součtu síly tíhové a odporové.  

F_V(x) - mg - F_o(x) = 0.

(zanedbávám dynamiku — předpokládám, že zrychlení jsou malá a hledám jen statické řešení)

Dosazením a úpravou se můžeme propracovat k explicitnímu vztahu pro rychlost sondy v závislosti na výšce, který má tuto podobu

v(x) = \frac{10000000000000\ 72649330114263968639^{2/7}\ 10^{4/7}(F_V(x)-mg)^{5/7}}{72649330114263968639\ D(x) \rho(x)^{5/7} \nu(x)^{3/7}}

(protože jsem líný, úpravu za mě provedl MathCad – podívejte se na soubor v pdf, ke stažení na konci článku).

Pro srovnání jsem ještě provedl výpočet podle Stokesovy teorie (ta by měla platit pouze pro malé rychlosti s Re < 2) a podle Newtonovy teorie, která zase platí pro Re > 500. Výsledek a jeho porovnání s realitou je na obázku. Rychlost podle Newtona je znázorněna zeleně, rychlost podle Stokese hnědě a rychlost podle zákona pro přechodovou oblast (tedy podle správně(?) zvoleného modelu) modře.

Srovnání skutečné rychlosti a modelů

Žádný model neodpovídá skutečnosti.

Podíváme-li se na poměr rychlosti podle modelu a rychlosti skutečné, zarazí nás fakt, že pro model přechodový je tento poměr stále téměř neměnný a má hodnotu okolo 0.3. Zkusmým stanovením Bulharské konstanty na hodnotu B=\pi  dostanu následující graf

Rychlost podle přechodového modelu po vynásobení konstantou 3,14

Závěr

Model je chybný, dává rychlost stoupání cca \pi-krát nižší, než je rychlost skutečná. To, že je chyba právě tato mě vede k názoru, že mi v odvození nějaké to \pi někde vypadlo — ale kde?

Děkuji předem za náměty na opravu!

Ke stažení

~*~

  1. Hruš starší

    Ahoj Tomáši,
    mám pocit, že se jedná o problém z oblasti t.zv. plíživého obtékání, z oblasti velmi nízkých Re, kde převláda vliv dynamické viskozity. Typické použití je např. pro měření velikosti částic aerosolu z doby sedimentace. Vzorec je velmi jednoduchý, pokud si pamatuju, F=6 x Pí x mí x R x w.
    R je poloměr částice, mí je dynamická viskozita, w je relativní rychlost, F je síla (vztlak). Je to asi rekurentní se změnou R s výškou. Klesající rozkmit rychlosti s výškou napovídá, že pro kouli balonu se měnilo Re , takže se měnil i idealizovaný model obtékání.
    Tahle nenewtonovská proudění jsou dost problematická. Ale jestli ti schází Pí, tak tady ho máš.
    Ahoj. Otec.

    • Tomáš Hruš

      Ten vztah je trochu jinak formulovaný tvar toho, co v textu nazývám Stokesovým zákonem. Odpovídá mu tedy čára, která je označená popiskem Rychlost podle Stokese. Podle mých podkladů tento model platí pro malá Reynoldsova čísla (Re<2). Balón má na startu Reynoldsovo číslo cca 85 a je tedy velmi daleko od oblasti, v níž by Stokesův zákon měl platit.

      Je zajímavé, že s výškou Re klesá a nahoře už je jen okolo šesti. Rychlost balonu a rychlost podle Stokesova modelu by se tedy měly postupně sbližovat. Děje se však pravý opak…

  2. Tomáš Hruš

    Hodnoty kinematické viskozity, které jsem použil pro uvedený výpočet, jsem chybně odečetl z tabulky. Kinematická viskozita je ve skutečnosti o čtyři rády (!) menší a Reynoldsova čísla odpovídajícím způsobem větší. Zhruba polovina stoupání balónu se proto odehrává v oblasti tak vysokých Re, pro kterou už neplatí Newtonův zákon pro odporovou sílu.

Zanechat odpověď

Vyplňte detaily níže nebo klikněte na ikonu pro přihlášení:

Logo WordPress.com

Komentujete pomocí vašeho WordPress.com účtu. Odhlásit /  Změnit )

Google photo

Komentujete pomocí vašeho Google účtu. Odhlásit /  Změnit )

Twitter picture

Komentujete pomocí vašeho Twitter účtu. Odhlásit /  Změnit )

Facebook photo

Komentujete pomocí vašeho Facebook účtu. Odhlásit /  Změnit )

Připojování k %s

Tento web používá Akismet na redukci spamu. Zjistěte více o tom, jak jsou data z komentářů zpracovávána.