Maturant 1928

Maturitní otázky z matematikyV antikvariátu jsem narazil na nesmírně zajímavou publikaci. Je to kniha Maturitní otázky z matematiky  – Sbírka 480 úplně řešených příkladů s 226 obrazci. Knihu sestavil Josef Dvořák, profesor státní reálky v Písku a vyšla v roce 1928. Je velmi poučné srovnávat to, co by podle pana profesora „nemělo činit zvláštních potíží průměrným žákům“ se znalostmi dnešních vysokoškoláků, které mám občas příležitost hodnotit.

Kniha je rozdělena do těchto kapitol:Maturitní otázky z matematiky - titulní stranaMaturitní otázky z matematiky - předmluva

  • Rovnice
    • R. algebraické (24 příkladů)
    • R. iracionální (12 příkladů)
    • R. logaritmické a exponenciální (36 příkladů)
    • R. goniometrické (28 příkladů)
  • Řady (30 příkladů)
  • Složité úrokování (25 příkladů)
  • Kombinatorika (21 příkladů)
  • Počet pravděpodobnosti
    • Matematická pravděpodobnost (8 příkladů)
    • Pravděpodobnost v geometrii (9 příkladů)
    • Matematická naděje (4 příklady)
    • Pravděpodobnost a posteriori (14 příkladů)
  • Planimetrie (14 příkladů)
  • Stereometrie bez trigonometrie (32 příkladů)
  • Trigonometrie rovinná (55 příkladů)
  • Trigonometrie sférická (24 příkladů)
  • Analytická geometrie (92 příkladů)
  • Začátky počtu infinitesimálního
    • Počet diferenciální (28 příkladů)
    • Počet integrální (24 příkladů)

Rozhodl jsem se na blogu příležitostně některý z příkladů včetně řešení zveřejnit v té podobě, v jaké je v knize. Nanejvýš budu upravovat archaický jazyk – například formulaci „jest řešiti rovnici“ budu nahrazovat dnes obvyklejším „řešte rovnici“ a podobně.

Začneme hned dnes a to prvním příkladem celé sbírky.

Jsou-li x_1 a x_2 kořeny rovnice x^2 - ax + b = 0, sestavte rovnici, jejíž kořeny jsou x_1+\frac{1}{x_1} a x_2+\frac{1}{x_2}.

Řešení

Protože

x_1 + x_2 = a,

x_1 x_2 = b,

je také

x^2 - (x_1' + x_2')x + x_1'x_2' = 0,

kde x_1' a x_2' jsou kořeny nové rovnice.

Pak

x_1' + x_2' = x_1 + \frac{1}{x_1} + x_2 + \frac{1}{x_2},

x_1' + x_2' = x_1 + x_2 + \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2},

x_1' + x_2' = a + \frac{a}{b},

x_1' + x_2' = \frac{a(b+1)}{b};

x_1' x_2' = \left(x_1 + \frac{1}{x_1}\right)\left(x_2 + \frac{1}{x_2}\right),

x_1' x_2' = x_1x_2 + \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1x_2},

x_1' x_2' =\frac{x_1^2x_2^2 + x_2^2 + x_1^2 + 1}{x_1x_2} ,

x_1' x_2' = \frac{b^2 + a^2 - 2b +1}{b},

x_1' x_2' = \frac{a^2 + (b-1)^2}{b}.

Hledaná rovnice tedy je

x^2 - \frac{a(b+1)}{b}x + \frac{a^2+(b-1)^2}{b}= 0

čili

bx^2 - a(b+1)x + a^2 + (b-1)^2 = 0.

Zanechat odpověď

Vyplňte detaily níže nebo klikněte na ikonu pro přihlášení:

Logo WordPress.com

Komentujete pomocí vašeho WordPress.com účtu. Odhlásit /  Změnit )

Google photo

Komentujete pomocí vašeho Google účtu. Odhlásit /  Změnit )

Twitter picture

Komentujete pomocí vašeho Twitter účtu. Odhlásit /  Změnit )

Facebook photo

Komentujete pomocí vašeho Facebook účtu. Odhlásit /  Změnit )

Připojování k %s

Tento web používá Akismet na redukci spamu. Zjistěte více o tom, jak jsou data z komentářů zpracovávána.